Квантови схеми

Квантовите изчисления могат да се представят графично чрез квантови схеми. Квантовата схема се състои от хоризонтални линии, представящи квантови битове и символи на квантовите операции върху линиите.

 Еднобитовата квантова операция се представя с квадратче със символа на операцията в него (I, H, X, Y, Z, S, S⁺, T или T⁺). Двубитовата операция CNOT се представя с кръгче и линия излизаща от него към управляващия кюбит.

Изчислението се извършва отляво на дясно. Преди началото на линиите отляво се записват началните състояния на кюбитовете.

След измерването на състоянието на квантов бит се получава класическа битова стойност 0 или 1 (с някаква вероятност). Така след някакъв брой пускания на квантовата схема може да се построи разпределение на вероятностите на класическите състояния, получавани след измерванията.

Реализирах алгоритъма за така нареченото bit-flip кодиране и декодиране с корекция на грешка в състоянието |Ψ> на един квантов бит.

Схемата на кодиращата част:

Схемата на декодиращата част:

Пуснах тази схема да се изпълни с 8192 повторения на квантовия компютър на IBM http://www.research.ibm.com/quantum/.
При изпълнението на входа на кодиращата част подавах състоянието на суперпозиция:

 |+> = (|0> + |1>) / √2

След кодиращата и преди декодиращата част зададох да се изпълнява изчакване за време около 390 ns, при което се получават случайни изменения (вследствие на естествената еволюция) на състоянието на квантовите битове на реалния квантов компютър.

Квантовият компютър 5Q на IBM  има 5 кюбита, поради което в резултатите от измерванията състоянията се представят с по 5 бита, от които съм използвал само младшите 3 бита:

Интересно е да се пресметне какъв е информационният капацитет на система от N квантови битове. Квантовото състояние на един кюбит може да се представи с две комплексни числа (коефициентите пред |0> и |1> в разлагането по стандартния базис). Система от N на брой квантови битове има стандартен базис, който се състои от 2^N на брой вектора. Поради това състоянието на системата от N кюбита може да се представи с 2^N комплексни числа.

Броят на комплексните числа, с които се представя състоянието на N квантови бита:

Брой квантови битове	Брой комплексни числа
1	2
2	4
5	32
10	1024
20	1 048 576
30	1 073 741 824
40	1 099 511 627 776
50	1 125 899 906 842 624

Тоест, при 30 квантови бита информационният капацитет е от порядъка на гигабайтове, при 40 кюбита - терабайтове, а при 50 - петабайтове. Това означава, че даже при скромния брой от 30 - 40 кюбита, квантовият компютър става сравним със сегашните обикновенни компютри, а при 50 и повече кюбита вече започва да ги превъзхожда в някакво отношение.

Двойки квантови битове

Един квантов бит има две базисни състояния |0> и |1>, а състоянието му |Ψ> в общия случай  се описва със суперпозиция на базисните състояния

|Ψ> = α|0> + β|1>

При система от два квантови бита базисните състояния са вече четири: |00>, |01>, |10> и |11>, а състоянието |Ψ> се описва със суперпозицията

|Ψ> = a|00> + b|01> + c|10> + d|11>,

където a,b,c и d са някакви комплексни числа.

Разбира се, например |01> означава, че първият квантов бит е в състояние |0> и едновременно с това вторият квантов бит е в състояние |1>.

Ако се извърши измерване на общото състояние на системата от два квантови бита, ще се получи резултат:

• |00> с вероятност |a|², 
• |01> с вероятност |b|², 
• |10> с вероятност |c|², или 
• |11> с вероятност |d|².

Състояния на Бел

Двойка квантови битове може да се намира в състояние на квантово преплитане.

Квантовото преплитане (Quantum entanglement) е квантовомеханично явление, при което квантовите състояния на два (или повече) обекта се оказват взаимнозависими. Тази взаимозависимост се запазва, даже ако обектите са отдалечени в пространството на произволно голямо разстояние, правещо невъзможно всяко класическо (не-квантово) взимодействие между тях.

В експерименти е реализирано квантово преплитане на фотони, електрони и други микрочастици. Квантово преплетените частици се държат като едно цяло независимо от разстоянието между тях и показват пълна мигновена връзка между състоянията си.

Два фотона в състояние на квантово преплитане се наричат бифотон (biphoton).

Съществуват четири квантови състояния на максимално преплитане (maximally entangled states), наричани състояния на Бел (Bell states):

|Φ⁺> = (|00> + |11>)/√2
|Φ^-> = (|00> - |11>)/√2
|Ψ⁺> = (|01> + |10>)/√2
|Ψ^-> = (|01> - |10>)/√2

|Φ⁺> се нарича състояние на котката на Щрьодингер;
|Ψ^-> се нарича АПР-състояние (по имената на Айнщайн, Подолски и Розен, EPR - Einstein, Podolsky, Rosen).

Квантова операция CNOT

Квантовата операция CNOT, наричана управляемо НЕ (Controlled NOT) въздейства върху състоянието на двойка квантови битове, като го променя по следния начин.
Ако състоянието преди операцията CNOT е било

|Ψ> = a|00> + b|01> + c|10> + d|11>, 

то състоянието след операцията CNOT става

|Ψ> = a|00> + b|01> + d|10> + c|11>, 

или накратко

CNOT(a|00>+b|01>+c|10>+d|11>) = a|00>+b|01>+d|10>+c|11>.

Базисните състояния на двойката квантови битове могат да се представят по следния начин:

 |00> = 1|00> + 0|01> + 0|10> + 0|11>
|01> = 0|00> + 1|01> + 0|10> + 0|11>
|10> = 0|00> + 0|01> + 1|10> + 0|11>
|11> = 0|00> + 0|01> + 0|10> + 1|11>

Тогава резултатите от квантовата операция CNOT ще бъдат следните:

CNOT(|00>)=CNOT(1|00>+0|01>+0|10>+0|11>)=1|00>+0|01>+0|10>+0|11>
 =|00>
CNOT(|01>)=CNOT(0|00>+1|01>+0|10>+0|11>)=0|00>+1|01>+0|10>+0|11>
 =|01>
CNOT(|10>)=CNOT(0|00>+0|01>+1|10>+0|11>)=0|00>+0|01>+0|10>+1|11>
 =|11>
CNOT(|11>)=CNOT(0|00>+0|01>+0|10>+1|11>)=0|00>+0|01>+1|10>+0|11>
 =|10>

Или накратко

CNOT(|00>) = |00>
CNOT(|01>) = |01>
CNOT(|10>) = |11>
CNOT(|11>) = |10>

Вижда се, че в граничния случай, когато състоянието на двойката квантови битове е чисто класическата комбинация от 0 и 1, операцията CNOT прави така, че когато първият бит е 0, вторият остава непроменен, а когато първият бит е 1, състоянието на втория се променя на противоположното. Затова операцията CNOT е наречена квантово управляемо НЕ. Първият квантов бит се нарича управляващ.

Операцията CNOT е обратима - ако бъде приложена още един път върху резултата от своето изпълнение, ще се получи пак началното квантово състояние:

CNOT(CNOT(|Ψ>)) = |Ψ>

Еднобитови квантови операции

При реализацията на квантовите изчисления състоянията на множество квантови битове се преобразуват чрез последователност от квантови операции. Тези квантови операции могат да се представят като последователност от елементарни операции, най-простите от които въздействат само върху един квантов бит. В  практиката са разпространени еднобитовите квантови операции I, X, Y, Z, H, S, S⁺, T и T⁺. Те се представят в матричен вид по следния начин:

I е единичният оператор. X, Y и Z са операторите на Паули (Pauli Operators). H е операцията на Адамар (Hadamard). S, S⁺, T и T⁺ са фазови отмествания:

• S е отместване с π/2 
• S⁺ е отместване с -π/2
• T е отместване с π/4
• T⁺ е отместване с -π/4
• Z е отместване с π

Резултати от еднобитовите квантови операции

Резултатите от квантовите операции може да се намерят чрез умножение на матрици, като например:

Ако състоянието |Ψ> на един квантов бит се представи чрез стандартния базис { |0>, |1> } като

|Ψ> = α|0> + β|1>,

тогава резултатите от еднобитовите квантови операции могат да се представят по следния начин:

I|Ψ> = |Ψ>
X|Ψ> = β|0> + α|1>
Y|Ψ> = -iβ|0> + iα|1>
Z|Ψ> = α|0> - β|1>
H|Ψ> = ((α + β)/√2)|0> + ((α - β)/√2)|1>
S|Ψ> = α|0> + iβ|1>
S⁺|Ψ> = α|0> - iβ|1>
T|Ψ> = α|0> + (β(1 + i)/√2)|1>
T⁺|Ψ> = α|0> + (β(1 - i)/√2)|1>

Обратимост на еднобитовите квантови операции

Единичният оператор оставя квантовото състояние непроменено.

I|Ψ> = |Ψ>

Операциите X, Y, Z и H са обратни сами на себе си.

XX|Ψ> = |Ψ>
YY|Ψ> = |Ψ>
ZZ|Ψ> = |Ψ>
HH|Ψ> = |Ψ>

За операциите S, S⁺, T и T⁺ са изпълнени следните равенства:

SSSS|Ψ> = |Ψ>
S⁺S⁺S⁺S⁺|Ψ> = |Ψ>
TTTTTTTT|Ψ> = |Ψ>
T⁺T⁺T⁺T⁺|Ψ> = |Ψ>

Операциите S и S⁺ и съответно T и T⁺ са взаимно обратни.

SS⁺|Ψ> = S⁺S|Ψ> = |Ψ>
TT⁺|Ψ> = T⁺T|Ψ> = |Ψ>

Универсални еднобитови квантови операции

Операциите X, H и T са частично-универсални в смисъл, че всяка операция от множеството { I, X, Y, Z, H, S, S⁺, T, T⁺ } може да се представи чрез операциите от множеството { X, H, T } по следния (минимален) начин:

I|Ψ> = XX|Ψ>
X|Ψ> = X|Ψ>
Y|Ψ> = TTXTTTTTT|Ψ>
Z|Ψ> = TTTT|Ψ>
H|Ψ> = H|Ψ>
S|Ψ> = TT|Ψ>
S⁺|Ψ> = TTTTTT|Ψ>
T|Ψ> = T|Ψ>
T⁺|Ψ> = TTTTTTT|Ψ>

Действие на еднобитовите операции върху базисните състояния

За практиката представлява интерес действието на еднобитовите операции върху базисните  състояния на квантовия бит. Без претенции за изчерпателност ще изброя някои равенства.

X се нарича квантово НЕ, защото преобразува основното състояние |0> във възбудено състояние |1> и обратно. Под действие на X състоянието на суперпозиция |+> се запазва.

X|0> = |1>
X|1> = |0>
X|+> = |+>

Операцията на Адамар създава и разрушава състояния на суперпозиция.

H|0> = |+>
H|1> = |->
H|+> = |0>
H|-> = |1>

Операциите Z, S, S⁺, T и T⁺ имат свойството да запазват непроменено основното състояние |0>.

Z|0> = |0>
S|0> = |0>
S⁺|0> = |0>
T|0> = |0>
T⁺|0> = |0>

Действието на операцията Y може да се поясни чрез представяне с последователност от операциите S, X и S+ .

SXS⁺|Ψ> = S⁺XS|Ψ> = Y|Ψ>

Състояния на квантовия бит

Състоянието |Ψ> на един квантов бит може да се представи като суперпозиция на базисните състояния |0> и |1> :

|Ψ> = α|0> + β|1>,

където α = a + ib и β = c + id са някакви комплексни числа, за които е в сила ограничението:

|α|² + |β|² = 1.

Множеството на състоянията |Ψ> може да се представи геометрично чрез така наречената сфера на Блох (Bloch sphere):

Това е триизмерна сфера с радиус 1. Всяка точка от нейната повърхност представя една възможна стойност на състоянието |Ψ> на квантовия бит. Сферата на Блох се построява по следния начин.

|Ψ> = α|0> + β|1> = (a + ib)|0> + (c + id)|1> = 
    = M0(cosτ + isinτ)|0> + M1(cosχ + isinχ)|1> =
    = M0eiτ|0> + M1eiχ|1> = 
    = eiτ(M0|0> + M1ei(χ-τ)|1>)

където

τ = arctg(b/a)

χ = arctg(d/c)

            _____
M0 = |α| = √a2+b2

            _____
M1 = |β| = √c2+d2

     __
i = √-1

Тъй като е в сила ограничението

|α|2 + |β|2 = 1

и съответно

M02 + M12 = 1

можем да представим модулите на комплексните числа с тригонометричните функции:

M0 = cos(θ/2)

M1 = sin(θ/2)

Така получаваме следното представяне на квантовото състояние:

|Ψ> = eiτ(M0|0> + M1ei(χ-τ)|1>) = 
    = eiτ(cos(θ/2)|0> + sin(θ/2)ei(χ-τ)|1>)

Пренебрегваме фазовия множител  e^iτ и окончателно получаваме уравнението на сферата на Блох:

|Ψ> =  cos(θ/2)|0> + sin(θ/2)eiφ|1>

На сферата на Блох има 6 забележителни точки, представящи следните състояния.

|0> (основно състояние)
|1> (възбудено състояние)

                   _
|+> = (|0> + |1>)/√2 (стандартно състояние на суперпозиция)

                   _
|-> = (|0> - |1>)/√2

                    _
|ͽ> = (|0> + i|1>)/√2

                    _
|ͼ> = (|0> - i|1>)/√2

Състоянията |0> и |1> съставят така наречения стандартен базис, състоянията |+> и |-> диагонален базис, а състоянията |ͼ> и |ͽ> кръгов базис. Тези три базиса могат да се представят един чрез друг.

                     _
|0> = (|+> + |->) / √2

                     _
|1> = (|+> - |->) / √2

|ͽ> = (1+i)(|+> - |->) / 2

|ͼ> = (1-i)(|+> - |->) / 2

                     _
|0> = (|ͼ> + |ͽ>) / √2

                      _
|1> = i(|ͼ> - |ͽ>) / √2

|+> = ((1+i)|ͼ> + (1-i)|ͽ>) / 2

|-> = ((1-i)|ͼ> + (1+i)|ͽ>) / 2

Фотонен квантов бит

Една възможна физическа реализация на квантов бит е чрез използване поляризацията на единичен фотон. В този случай базисните състояния на фотона са следните.

|0> хоризонтална поляризация
|1> вертикална поляризация
|+> диагонална поляризация +45°
|-> диагонална поляризация -45°
|ͽ> кръгова поляризация надясно
|ͼ> кръгова поляризация наляво

Състоянието на поляризация на единичния фотон може да се представи във всеки от трите базиса:

|Ψ> = α|0> + β|1> 

                                         _
|Ψ> = ( α(|+> + |->) + β(|+> - |->) ) / √2  = 
                                     _
    = ( (α + β)|+> + (α - β)|-> ) / √2

                                          _
|Ψ> = ( α(|ͼ> + |ͽ>) + iβ(|ͼ> - |ͽ>) ) / √2  =
                                      _ 
    =( (α + iβ)|ͼ> + (α - iβ)|ͽ> ) / √2

Квантов бит

Думата бит има две различни значения: може да означава една цифра в двоичната система за представяне на числата или единица за количество информация.

В електрониката един двоичен разряд или един бит се реализира физически с устройство, което има две възможни състояния: 0 (ниско електрическо напрежение) или 1 (високо напрежение).

Единицата за количество информация бит е равна на ентропията на обект с две възможни равновероятни състояния. Следователно един двоичен разряд съдържа максимум един бит количество информация.

При квантовите системи се дефинира понятието квантов бит (Quantum bit, Qubit, кюбит), който е квантов аналог на класическия бит.

Квантовият бит

Квантовият бит е квантова система с две състояния, обозначавани с |0>  и  |1>. Квантовият бит може да се намира във всяко квантово състояние, обозначено с |Ψ> , което се представя като следната суперпозиция  на състоянията  |0>  и  |1> :

|Ψ> = α |0> + β |1> ,

където α и β са комплексни числа, за които е изпълнено |α |² + |β |² = 1.

Състоянията |0>  и  |1> образуват така наречения стандартен базис и може да се представят с векторите:

|0>  = (1, 0)'
|1> = (0, 1)'

където ' означава транспониране (превръщане на вектор-ред във вектор-стълб).

Тогава квантовото състояние се представя като линейна комбинация на тези базисни вектори:

|Ψ> = α |0> + β |1>  = α (1, 0)' + β (0, 1)' = (α, 0)' +  (0, β)' = (α, β)' ,

(α, β)' = (a+ib, c+id)' ,

където a,b,c,d са реални числа, за които е изпълнено α = a+ib, β = c+id

Това означава, че състоянието |Ψ> на квантовия бит може да се опише напълно с четири реални числа. Но тъй като е в сила ограничението
|α |² + |β |² = a² + b² + c² + d² = 1, отпада една степен на свобода и състоянието може да се опише само с три реални числа.

Измерване на квантов бит

Ако квантовият бит се намира в някакво състояние |Ψ>, при измерването (наблюдението) му се получава резултат |0>  с вероятност |α |²  или |1> с вероятност |β |², след което, ако е бил получен резултат |0> квантовият бит преминава безвъзвратно в състояние |0>, или съответно, ако е бил получен резултат |1>, квантовият бит преминава в състояние |1>.

Значи, ако можем да получаваме все нови и нови квантови битове в състояние |Ψ> и да измерваме всеки от тях, то по общия брой на резултатите |0> или |1> ще можем да намерим приблизителната стойност на вероятностите |α |² и |β |²  съответно.

Следователно, на практика чрез измерване не можем да намерим точното състояние |Ψ>, поради наличието на поне два източника на неточност:

1) вероятностите  |α |² и |β |² се намират с ограничена точност, която се увеличава с увеличаване на броя на измерванията
2) след като бъдат намерени вероятностите |α |² и |β |² , по тях не могат да бъдат изчислени четирите реални числа a,b,c,d, описващи напълно състоянието |Ψ> .

Сравнение между класическия и квантовия бит

Класически бит	Квантов бит
Класическият бит има само две възможни състояния: 0 и 1	Квантовият бит има състояние |Ψ> което може да се представи с някакви три реални числа a,b,c
Винаги може да бъде установено точно дали класическият бит се намира в състояние 0 или 1, като след такова наблюдение класическият бит запазва своето състояние непроменено	При наблюдението на състоянието на квантовия бит се измерва стойност |0> или |1> с някаква вероятност, определена от състоянието му |Ψ> , след което квантовит бит променя състоянието си съответно на  |Ψ> = |0> или |Ψ> = |1>

Физическа реализация на квантовия бит

За физическата реализация на квантови битове може да се използват естествените квантовомеханични свойства на микрочастиците.

Например като квантов бит може да бъде използван единичен фотон, който има две състояния - с вертикална или хоризонтална поляризация.

Други микрочастици, като електроните, протоните и неутроните притежават собствен механичен момент 1/2 и могат да служат като квантови битове с двете състояния +1/2 и -1/2 на собствения си механичен момент.

Като квантов бит може да бъде използвано и цяло атомно ядро, което също има собствен механичен момент 1/2, като например ¹H, ¹³C или ¹⁵N в състава на някаква органична молекула. В процеса на работа на такъв квантов бит върху ядрото се въздейства с магнитно поле и радиочестотни импулси.
Квантови битове от този вид са реализирани (през 1997 г.) с молекули хлороформ ¹³CHCl₃ в разтворител деутериран ацетон (CD₃)₂CO . При тази реализация се използват квантовомеханичните свойства на ядрото на водорода (което е протон) и ядрото на изотопа на въглерода в изотопно белязаната молекула на хлороформа.

Свръхпроводникови квантови битове

Друг тип реализация на квантови битове използва свръхпроводници и макроскопична квантова интерференция. Следва кратко описание на общата конструкция и действието на свръхпроводниковите квантови битове.

При измерване на електрическото съпротивление на оловото (Pb) и ниобия (Nb) при свръхниски температури е било открито (през 1911г.), че в областта от 7.2K до 9.3K съпротивлението рязко спада до нула. Този ефект се нарича свръхпроводимост. Съществува характерна за всеки свръхпроводник гранична температура, под която се извършва прехода към свръхпроводящото състояние.

Ефект на Джозефсън (открит през 1962 - 1963 г.) се нарича протичането на свръхпроводников ток (в резултат от тунелния ефект) между два свръхпроводникови елемента, разделени с тънък слой изолатор (дебел няколко нанометра) при нулево напрежение.

Така нареченият преход на Джозефсън (контакт на Джозефсън, Josephson Junction, JJ) практически се изработва във вид на два свръхпроводящи електрода, съединени с електрически контакт, представляващ много тънък слой от диелектрик, слой от полупроводник или нормален метал.

Приложение в практиката намират потоковите квантови битове (flux qubit), изградени от свръхпроводящи елементи и преходи на Джозефсън. На следващата микрофотография е показана една разновидност на тези кюбитове, така наречения фазов квантов бит:

Основната схема на този квантов бит се състои от свръхпроводникова верига с три прехода на Джозефсън JJ₁, JJ₂ и JJ₃. Преходите JJ₁ и JJ₂ са еднакви, а JJ₃ има много по-малка площ. Външната верига представлява свръхпроводящ квантов интерферометър за постоянен ток с два прехода JJ₄ и JJ₅, който се използва за измерване на състоянието на квантовия бит:

В една успешна реализация на такъв квантов бит средният преход на Джозефсън има структура свръхпроводник-феромагнетик-свръхпроводник (SFS). Фазовият квантов бит функционира надеждно само при температури по-ниски от 20 mK.
За фазовите кюбитове е установено, че най-голямо време за запазване на кохерентността осигуряват свръхпроводници от алуминий.
Установено е, че потоковите квантови битове с преходи на Джозефсън със структура SNS (свръхпроводник-нормален метал-свръхпроводник) работят по-бързо отколкото със структура SIS (свръхпроводник-изолатор-свръхпроводник)
В практиката са намерили приложение квантови процесори с преходи на Джозефсън от типа Nb/AlO_x/Nb, работещи при температура 0.00002 K.

За общо поясняване на принципа на действие на потоковите квантови битове да разгледаме най-простата тяхна разновидност, която се състои от пръстеновидна верига от свръхпроводник само с един преход на Джозефсън:

Отверстието на затворената верига се пронизва от външния магнитен поток Ф_B. Вследствие на макроскопичната квантова интерференция във веригата се установява такъв свръхпроводников ток I, че сумарният магнитен поток Ф да бъде кратен на кванта на магнитния поток Ф₀. За да стане това, магнитният поток, породен от тока I намалява или увеличава потока Ф_B. Така потоковият квантов бит може да се намира в две базисни състояния: |0> , когато токът I тече в едната посока или |1> , когато токът тече в другата посока

Потоковите квантови битове на основата на свръхпроводници и преходи на Джозефсън  се използват най-широко в разработваните от 2007 година досега квантови компютри, които вече започват да намират (експериментално) приложение в практиката.