От гледна точка на физиката, честотата на звука може да се изменя непрекъснато. Но от всичките възможни честоти за използване в музиката се избира система от малко на брой звуци - тоновете от някаква гама. Така всъщност се преминава от непрекъснатост към квантуване - система от дискретни честоти на тоновете.
Както е известно, гама се нарича последователността от звуци на някаква музикална система (лад), разположени, започвайки от основния тон по нарастване или намаляване на височината.
Звуците в музикалната система са свързани помежду си с определени зависимости: едни от тях изглеждат неустойчиви, и се стремят към други - устойчиви. Първата степен на лада е тониката - най-устойчивата степен.
Музикален строй се нарича математическото представяне на определена система от отношения на звукови височини.
Питагоров строй
Още в древността са открити математически закономерности, обосноваващи защо в музиката са избрани точно определените тонове от всички възможни звуци, които могат да съществуват на света.
Законите на Питагор-Архит, върху които се основава питагорейската теория на музиката могат да бъдат формулирани така:
1) Височината на тона (честотата на колебанията f) на звучаща струна е обратно пропорционална на нейната дължина l
f = a/l,
където a е коефициент, зависещ от физическите свойства на струната (дебелината, материала от който е направена);
2) Две звучащи струни дават консонанс само тогава, когато техните дължини се отнасят като цели числа, съставящи така нареченото триъгълно число 10=1+2+3+4, т.е като 1:2, 2:3, 3:4.
Тези интервали са съвършените консонанси:
октава 1/2
квинта 2/3
кварта 3/4
Ако разделим струната на 12 части, различен брой от нейните части ще образуват с цялата струна съзвучията:
октава - 6 части (6/12=1/2, струната е разделена на две)
квинта - 8 части (8/12=2/3)
кварта - 9 части (9/12=3/4)
унисон - 12 части (12/12=1, цялата струна)
Тези четири звука и определящите ги числа 6, 8, 9, 12 се наричат тетрада (четворка). Питагорейците са считали, че терадата е "тази гама, по която пеят сирените".
Отношението на височините квинта/кварта=(2/3)/(3/4)=(2.4)/(3.3)=8/9 се нарича "тон". От тук произлиза наименованието на интервала "цял тон" (един тон), който е дисонансен.
Отношението кварта/тон=(3/4)/(8/9)=(3/4)/((8.8)/(9.9))=(3/4)/(64/81)=243/256 се нарича полутон и се получава при разделяне приблизително на две на частта от струната, отговаряща на един цял тон.
На тези интервални отношения се основава канонът на Питагор, по който според преданието е била настроена лирата на Орфей.
Питагоровият строй се състои от тонове със следните височини:
до 1 (основен тон)
ре 9/8 (питагоров цял тон нагоре)
ми 81/64
фа 4/3 (кварта нагоре)
сол 3/2 (квинта нагоре)
ла 27/16
си 243/128 (полутон под горната октава)
до 2 (октава над основния тон)
Интервалите между тоновете в питагоровия строй са:
ре-до (9/8)/1=9/8 (цял тон)
ми-ре (81/64)/(9/8)=9/8 (цял тон)
фа-ми (4/3)/(81/64)=(4.64)/(3.81)=256/243 (полутон)
сол-фа (3/2)/(4/3)=9/8 (цял тон)
ла-сол (27/16)/(3/2)=9/8 (цял тон)
си-ла (243/128)/(27/16)=9/8 (цял тон)
до-си 2/(243/128)=256/243 (полутон)
Обертонове
Според физическите закони трептящата струна се колебае едновременно не само с цялата си дължина, но и с отделните си части - половини, третини, четвъртини и т.н. Поради това струната издава звук не само с основната честота, но и звуци с 2,3,4, и т.н. пъти по-високи честоти.
Звукът с основна честота се нарича основен тон на струната, а останалите звуци с кратни по-високи честоти - обертонове или хармонични. Обертоновете, сливайки се в едновременно звучене с основния тон, образуват тембъра на звука. В зависимост от различната интензивност на обертоновете се получават различни тембри.
При свирене на струнен инструмент чрез леко допиране на струната на определено място може да се направи така, че да зазвучат само някои от всичките обертонове. Това се нарича свирене с флажолети, защото получаващите се особени, нежни звуци приличат по тембър на старинния дървен духов инструмент флажолет.
Трептящата струна издава цял звукоред от обертонове с честоти, отнасящи се като целите числа 1:2:3:4... който се нарича натурален звукоред.
Тоновете от натуралния звукоред образуват помежду си някои от известните от питагоровия строй интервали:
основният тон има честота f и може да бъде наречен първи обертон;
вторият обертон с честота 2f е на октава (2/1) по-високо от основния тон;
третият обертон с честота 3f е на квинта (3/2) по-високо от втория обертон;
четвъртият обертон с честота 4f е на кварта (4/3) по-високо от третия;
деветият обертон с честота 9f е на питагоров цял тон (9/8) по-високо от осмия.
Свирене с обертонове в електронната музика
В електронната музика като източници на звук се използват електронни устройства, вместо трептящи струни или други подобни материални тела. Но законите на природата са такива, че колебанията на електрическия сигнал на генератора на един аналогов синтезатор се подчиняват на подобни математически закономерности като трептенията на някакво материално тяло. Най-важната от тези закономерности е, че колебанията могат се разглеждат като сума от хармонични с честоти 1f, 2f, 3f, ...
Това дава възможност да се свири със флажолети на аналогов синтезатор. За да покажа тази идея, записах една импровизирана демонстрация на свирене с флажолети (обертонове) със синтезатор Behringer Model D. Най-ясно звучене на флажолетите успях да постигна някъде около средата на записа.
Идеята е, че един осцилатор на синтезатора генерира непрекъснато неизменен основен тон с достатъчно богата на хармонични форма на сигнала. С пренастройване на VCF филтъра на синтезатора се усилват или подтискат някои от хармоничните, при което се получават флажолетни тонове, разположени по височините на натуралния звукоред.
Числата под нотите показват с колко цента (стотни от темперирания полутон) се различава дадения тон на натуралния звукоред от съответния тон на равномерно-темперирания строй.
При свирене с флажолети по естествен начин се използва натуралния строй, който е по-близък до самата природа на звука. Тоновете от натуралния звукоред се различават по височина от тоновете на равномерно-темперирания строй, който се използва във всички клавишни музикални инструменти.
