Състояния на квантовия бит

Състоянието |Ψ> на един квантов бит може да се представи като суперпозиция на базисните състояния |0> и |1> :

|Ψ> = α|0> + β|1>,

където α = a + ib и β = c + id са някакви комплексни числа, за които е в сила ограничението:

|α|² + |β|² = 1.

Множеството на състоянията |Ψ> може да се представи геометрично чрез така наречената сфера на Блох (Bloch sphere):

Това е триизмерна сфера с радиус 1. Всяка точка от нейната повърхност представя една възможна стойност на състоянието |Ψ> на квантовия бит. Сферата на Блох се построява по следния начин.

|Ψ> = α|0> + β|1> = (a + ib)|0> + (c + id)|1> = 
    = M0(cosτ + isinτ)|0> + M1(cosχ + isinχ)|1> =
    = M0eiτ|0> + M1eiχ|1> = 
    = eiτ(M0|0> + M1ei(χ-τ)|1>)

където

τ = arctg(b/a)

χ = arctg(d/c)

            _____
M0 = |α| = √a2+b2

            _____
M1 = |β| = √c2+d2

     __
i = √-1

Тъй като е в сила ограничението

|α|2 + |β|2 = 1

и съответно

M02 + M12 = 1

можем да представим модулите на комплексните числа с тригонометричните функции:

M0 = cos(θ/2)

M1 = sin(θ/2)

Така получаваме следното представяне на квантовото състояние:

|Ψ> = eiτ(M0|0> + M1ei(χ-τ)|1>) = 
    = eiτ(cos(θ/2)|0> + sin(θ/2)ei(χ-τ)|1>)

Пренебрегваме фазовия множител  e^iτ и окончателно получаваме уравнението на сферата на Блох:

|Ψ> =  cos(θ/2)|0> + sin(θ/2)eiφ|1>

На сферата на Блох има 6 забележителни точки, представящи следните състояния.

|0> (основно състояние)
|1> (възбудено състояние)

                   _
|+> = (|0> + |1>)/√2 (стандартно състояние на суперпозиция)

                   _
|-> = (|0> - |1>)/√2

                    _
|ͽ> = (|0> + i|1>)/√2

                    _
|ͼ> = (|0> - i|1>)/√2

Състоянията |0> и |1> съставят така наречения стандартен базис, състоянията |+> и |-> диагонален базис, а състоянията |ͼ> и |ͽ> кръгов базис. Тези три базиса могат да се представят един чрез друг.

                     _
|0> = (|+> + |->) / √2

                     _
|1> = (|+> - |->) / √2

|ͽ> = (1+i)(|+> - |->) / 2

|ͼ> = (1-i)(|+> - |->) / 2

                     _
|0> = (|ͼ> + |ͽ>) / √2

                      _
|1> = i(|ͼ> - |ͽ>) / √2

|+> = ((1+i)|ͼ> + (1-i)|ͽ>) / 2

|-> = ((1-i)|ͼ> + (1+i)|ͽ>) / 2

Фотонен квантов бит

Една възможна физическа реализация на квантов бит е чрез използване поляризацията на единичен фотон. В този случай базисните състояния на фотона са следните.

|0> хоризонтална поляризация
|1> вертикална поляризация
|+> диагонална поляризация +45°
|-> диагонална поляризация -45°
|ͽ> кръгова поляризация надясно
|ͼ> кръгова поляризация наляво

Състоянието на поляризация на единичния фотон може да се представи във всеки от трите базиса:

|Ψ> = α|0> + β|1> 

                                         _
|Ψ> = ( α(|+> + |->) + β(|+> - |->) ) / √2  = 
                                     _
    = ( (α + β)|+> + (α - β)|-> ) / √2

                                          _
|Ψ> = ( α(|ͼ> + |ͽ>) + iβ(|ͼ> - |ͽ>) ) / √2  =
                                      _ 
    =( (α + iβ)|ͼ> + (α - iβ)|ͽ> ) / √2