Еднобитови квантови операции

При реализацията на квантовите изчисления състоянията на множество квантови битове се преобразуват чрез последователност от квантови операции. Тези квантови операции могат да се представят като последователност от елементарни операции, най-простите от които въздействат само върху един квантов бит. В  практиката са разпространени еднобитовите квантови операции I, X, Y, Z, H, S, S⁺, T и T⁺. Те се представят в матричен вид по следния начин:

I е единичният оператор. X, Y и Z са операторите на Паули (Pauli Operators). H е операцията на Адамар (Hadamard). S, S⁺, T и T⁺ са фазови отмествания:

• S е отместване с π/2 
• S⁺ е отместване с -π/2
• T е отместване с π/4
• T⁺ е отместване с -π/4
• Z е отместване с π

Резултати от еднобитовите квантови операции

Резултатите от квантовите операции може да се намерят чрез умножение на матрици, като например:

Ако състоянието |Ψ> на един квантов бит се представи чрез стандартния базис { |0>, |1> } като

|Ψ> = α|0> + β|1>,

тогава резултатите от еднобитовите квантови операции могат да се представят по следния начин:

I|Ψ> = |Ψ>
X|Ψ> = β|0> + α|1>
Y|Ψ> = -iβ|0> + iα|1>
Z|Ψ> = α|0> - β|1>
H|Ψ> = ((α + β)/√2)|0> + ((α - β)/√2)|1>
S|Ψ> = α|0> + iβ|1>
S⁺|Ψ> = α|0> - iβ|1>
T|Ψ> = α|0> + (β(1 + i)/√2)|1>
T⁺|Ψ> = α|0> + (β(1 - i)/√2)|1>

Обратимост на еднобитовите квантови операции

Единичният оператор оставя квантовото състояние непроменено.

I|Ψ> = |Ψ>

Операциите X, Y, Z и H са обратни сами на себе си.

XX|Ψ> = |Ψ>
YY|Ψ> = |Ψ>
ZZ|Ψ> = |Ψ>
HH|Ψ> = |Ψ>

За операциите S, S⁺, T и T⁺ са изпълнени следните равенства:

SSSS|Ψ> = |Ψ>
S⁺S⁺S⁺S⁺|Ψ> = |Ψ>
TTTTTTTT|Ψ> = |Ψ>
T⁺T⁺T⁺T⁺|Ψ> = |Ψ>

Операциите S и S⁺ и съответно T и T⁺ са взаимно обратни.

SS⁺|Ψ> = S⁺S|Ψ> = |Ψ>
TT⁺|Ψ> = T⁺T|Ψ> = |Ψ>

Универсални еднобитови квантови операции

Операциите X, H и T са частично-универсални в смисъл, че всяка операция от множеството { I, X, Y, Z, H, S, S⁺, T, T⁺ } може да се представи чрез операциите от множеството { X, H, T } по следния (минимален) начин:

I|Ψ> = XX|Ψ>
X|Ψ> = X|Ψ>
Y|Ψ> = TTXTTTTTT|Ψ>
Z|Ψ> = TTTT|Ψ>
H|Ψ> = H|Ψ>
S|Ψ> = TT|Ψ>
S⁺|Ψ> = TTTTTT|Ψ>
T|Ψ> = T|Ψ>
T⁺|Ψ> = TTTTTTT|Ψ>

Действие на еднобитовите операции върху базисните състояния

За практиката представлява интерес действието на еднобитовите операции върху базисните  състояния на квантовия бит. Без претенции за изчерпателност ще изброя някои равенства.

X се нарича квантово НЕ, защото преобразува основното състояние |0> във възбудено състояние |1> и обратно. Под действие на X състоянието на суперпозиция |+> се запазва.

X|0> = |1>
X|1> = |0>
X|+> = |+>

Операцията на Адамар създава и разрушава състояния на суперпозиция.

H|0> = |+>
H|1> = |->
H|+> = |0>
H|-> = |1>

Операциите Z, S, S⁺, T и T⁺ имат свойството да запазват непроменено основното състояние |0>.

Z|0> = |0>
S|0> = |0>
S⁺|0> = |0>
T|0> = |0>
T⁺|0> = |0>

Действието на операцията Y може да се поясни чрез представяне с последователност от операциите S, X и S+ .

SXS⁺|Ψ> = S⁺XS|Ψ> = Y|Ψ>